Мажор і мінор. Формула музичних емоцій

Автор: Вадим Р. Мадгазин (vrm@vmgames.com)

М'яко зазвучала тиха музика. Її неспішні мінорні акорди плавно розливалися навколо, несучи нас кудись у глибоку далечінь. Чомусь повіяло смутком... потім темп став зростати, високі ноти змінювалися низькими, напруга поступово збільшувалася і ось нарешті зазвучала яскрава, урочисто-радісна, мажорна розв'язка. Що з нами було? Загадка природи...

Щоб уникнути двозначностей наведу кілька вступних фраз, уточнюючих термінологію.

Як відомо, будь-який звуковий сигнал обмеженої тривалості можна представити у вигляді еквівалентного ряду (спектру) Фур'є як суму чистих тонів (синусоїдальних коливань) з різною амплітудою, частотою і початковою фазою. У даній роботі ми будемо розглядати в основному стаціонарні звукові сигнали, які не змінюються в часі.

Згідно [9] основним тоном (першою гармонікою) звуку називається найнижча частота звуку. Всі інші частоти вище основного тону називаються обертонами. Т. о. перший обертон - це 2-й по висоті тон спектру звуку. Обертон з частотою, в N разів більшої частоти основного тону (де N - ціле число, більше 1) називається N-ю гармонікою.

Музичним (або гармонійним) називається звук, який складається тільки з набору гармонік. На практиці це звук, все обертони якого приблизно укладаються на частоти гармонік, а деякі довільні гармоніки можуть бути відсутніми, в тому числі і перша. У цьому випадку основний тон називається «віртуальним» і його висота буде визначатися психікою суб'єкта слухача з співвідношень частот між реальними обертонами [12, 27].

Один музичний звук від іншого може відрізнятися по частоті основного тону (висоті), спектру (тембру) і гучності. В даної роботи ці відмінності не будуть використовуватися, але все наше увагу буде сконцентровано на взаємному співвідношенні висот звуків.

Ми будемо розглядати ефекти від прослуховування одного або декількох спільних музичних звуків, взятих поза будь-якого іншого музичного контексту.

Як відомо [4, 9, 16, 27] одночасне звучання двох музичних звуків різної висоти (двоголосний акорд, діада, созвук) здатне виробляти у суб'єкта враження приємного (благозвучного, злитого) або неприємного (подразнюючої, шорсткого) поєднання. У музиці це враження від співзвуч називається відповідно консонанс і дисонансом.

Також відомо, що одночасне звучання трьох (і більше) музичних звуків різної висоти (триголосий акорд, тріада, тризвук) здатне виробляти у суб'єкта емоційне враження різного забарвлення. Різною - по знаку (позитивного або негативного) і силі (глибині, яскравості, контрасту) відповідних емоцій.

Емоції, що викликаються у людей прослуховуванням музики за своїм типом в ряду всіх відомих емоцій відносяться до естетичним (інтелектуальним) і утилітарним емоціям. Про класифікацію емоцій, у т. ч. музичних див. докладніше [21-24].

Наприклад тризвук з нот «до,мі,соль» (мажорний) і тризвук з нот «до,мі-бемоль,соль» (мінорний) мають відповідно яскраво вираженою «позитивної» і «негативної» емоційним забарвленням, зазвичай іменується як «радість» та «печаль» (чи горе, смуток, страждання, співчуття, скорбота, туга, смуток - згідно з [5]).

Емоційне забарвлення акордів практично не залежить від змін загальної висоти, гучності або тембру складових їх звуків. Зокрема, ми почуємо практично незмінну емоційне забарвлення у акордів з досить тихих чистих тонів.

Забігаючи наперед відзначимо, що якщо є якийсь довільний акорд може бути визначений як мінорний або мажорний, то для переважної більшості суб'єктів викликаються його звучанням емоції будуть утилітарними, тобто належить до розряду «печаль або радість» (маючи негативний або позитивний знак емоції). Емоційна ж сила (яскравість емоції) цього акорду в загальному випадку буде залежати від конкретики ситуації (стану суб'єкта-слухача і структури акорду). По суті (у статистичному сенсі) можна поставити однозначне відповідність між мажором/мінором і емоціями, що ними викликаються. І швидше за все саме емоційне забарвлення цих акордів дозволяє «звичайним людям» дізнаватися мажорну або мінорну тональність окремих акордів.

В [11] такі категорії як «висота, тембр, консонанс, дисонанс» віднесені до естетичної системи комунікацій людини, а «мажор і мінор» - до емоційно-естетичної.

Т. о. резюмуємо, що естетична компонента звуку «приємно-неприємно» (консонанс і дисонанс) виникає в нас при прослуховуванні двоголосних акордів, а емоційна компонента звуку «радість-печаль» (мажор і мінор) виникає у нас тільки при додаванні третього голосу. Зауважимо, що акорди інших типів (не мажорних і не мінорних) можуть не мати утилітарної функції, що містяться в них» емоцій.

ПРОПОРЦІЇ АКОРДІВ

Логічно зробити припущення, що при сприйнятті різного числа одночасних музичних звуків спрацьовує правило переходу кількості (1, 2, 3 ...) в якість. Подивимося, які нові якості можуть з'являтися.

Ще в глибоку давнину було виявлено, що акорд з двох (приємних окремо) звуків може бути на слух приємним або неприємним (консонантным або диссонантным).

Як було встановлено, такий акорд звучить консонантно, якщо відношення висот його звуків (з похибкою скажімо в 1% або менше) складає пропорцію з відносно невеликих цілих (натуральних) чисел, зокрема з чисел від 1 до 6 і 8.

Якщо ж ця пропорція складається з відносно великих взаємно простих чисел (15/16 тощо), то такий акорд звучить диссонантно.

Зазначу, що точність, з якою слід визначати цілі пропорції музичних звуків, як і вибір конкретної пропорції з ряду альтернатив може залежати від контексту ситуації [2,18]. Короткий історичний екскурс по музичним інтервалам наведено в [13].

Список відносин висот двох музичних звуків (музичних інтервалів) в порядку зменшення консонантности згідно [15, 16] виглядає так: 1/1, 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 8/5, 6/5, 5/3, і далі дисонанси 9/5, 9/8, 7/5, 15/8, 16/15.

Цей список, можливо, не зовсім повний (принаймні в частині дисонансів), т. к. базується на можливих музичних інтервалах у рамках рівномірно-темперованого ладу 12 нот в октаві (РТС12) .

Відомо також, що сприйняття консонансу і дисонансу відбувається на проміжному рівні нервової системи людини, на етапі попередньої обробки окремих сигналів від кожного вуха. Якщо при допомозі головних телефонів розділити два звуку з різних вухам, то ефекти їх «взаємодії» (піки консонансу, віртуальна висота) зникають [27,28,29].

Трохи відволікаючись в бік зазначу, що хоча на сьогоднішній день існує більше десятка теорій консонансу і дисонансу [24], дати чітке пояснення чому інтервал 7/5 це дисонанс, а 8/5 це консонанс (причому, більш досконалий, ніж наприклад 5/3) досить непросто.

Однак нам за великим рахунком тут це і не потрібно. Хороша тема для окремого дослідження?

Отже, відзначимо наступний новий факт. При переході від одного прослуховування музичного звуку до двох одночасним звуків у суб'єкта з'являється можливість отримання інформації з співвідношення висот цих звуків. Причому, психікою суб'єкта особливо виділяються співвідношення висот у вигляді пропорцій з відносно невеликих натуральних чисел, які ранжуються в одній категорії - консонансу/дисонансу.

Тепер перейдемо до розгляду акорд з трьох звуків. У трезвучиях порівняно з співзвуччями кількість (попарних) інтервалів збільшується до трьох, а крім того, з'являється нова сутність - саме «монолітне» тризвук (як би «потрійний» інтервал) -загальне співвідношення між висотами всіх трьох звуків, що розглядаються разом.

Це монолітне співвідношення може бути записано як «пряма» пропорція A:B:C або в іншій формі як «зворотний» пропорція (1/D):(1/E):(1/F) з натуральних взаємно простих трійок чисел A,B,C або D,E,F. Чисто математично всі такі пропорції можна розділити на три основні групи:

- пряма пропорція «простіше» ніж зворотна, тобто A*B*C < D*E*F

- зворотна пропорція «простіше» ніж пряма, тобто A*B*C > D*E*F

- обидві однакові пропорції («симетричні»), тобто A*B*C = D*E*F (і т. о. A=D, B=E, C=F).

Т. о. нову якість тризвуки - інформація нового типу - може бути укладена тільки в цих потрійних пропорціях, що потрапляють в одну з трьох вищеописаних категорій.

Залежно від ступеня консонантности всіх попарних інтервалів тризвуки можуть бути як консонантными, так і диссонантными. У ряді випадків (при використанні різних наближень цілих) вибір конкретного складу обох пропорцій може бути неоднозначним. Однак для консонантных акордів така неоднозначність не проявляється.

Згідно [19] в музичній практиці існують чотири основних типи тризвуків - мажорний та мінорний (консонанси), збільшена і зменшена (дисонанси). Практично всі консонуючі акорди можна віднести до категорії мажору і мінору.

Для простоти далі по тексту будемо опускати одиницю в чисельнику і круглі дужки для зворотних пропорцій, тобто замість «(1/A)» писати «/A».

Відносини висот звуків вищезазначеного мажорного тризвуку з великою точністю становлять пряму пропорцію 4:5:6. Відносини висот звуків вищезазначеного мінорного тризвуку з великою точністю складають зворотну пропорцію /6:/5:/4. Прямі і зворотні пропорції збільшеного і зменшеного тризвуків однакові, оскільки вони складаються з однакових інтервалів (4-4 і 3-3 півтони РТС12), і ці рівності пропорцій виглядають як/25:/20:/16 = 16:20:25 і відповідно/36:/30:/25 = 25:30:36.

Співвідношення висот звуків мажорних тризвуків завжди просто (з використанням менших цілих чисел) виражаються в прямих пропорціях, а мінорних тризвуків - у зворотних пропорціях, і це добре відомий факт. Вже Джозеф Царлино (1517-1590 рр.) знав протилежне значення мажорного і мінорного акордів («Istituzione harmoniche» 1558 р.) [4]. Однак і 450 років потому не так легко знайти серйозну роботу, в якій цей факт широко використовується для гармонійного аналізу або синтезу акордів. Причиною тому можливо стали наполегливі, але помилкові спроби різних авторів пояснити феномен мажору і мінору (див. нижче). Може бути зв'язок акордів з пропорціями висот стала чимось на зразок забороненої теми «вічного двигуна»?

На основі простої математики і досвідчених даних, висунемо постулат: будь-мажорний акорд (він простіше в прямій пропорції) можна перетворити в мінорний (він простіше в зворотній пропорції), якщо замість прямої пропорції записати зворотний з тих самих чисел. Тобто якщо пропорція A:B:C це мажор, то зворотна (інша!) пропорція /C:/B:/A це мінор. Зрозуміло будь-яку пряму пропорцію можна (без змін!) представити у вигляді зворотного, і навпаки. Зокрема 4: 5: 6 = /15:/12:/10 і/4:/5:/6 = 15: 12: 10.

Підсумовуючи все це, можна зробити висновок, що три групи, на які поділяються всі пропорції висот тризвуків дійсно відіграють важливу роль в музичній практиці, і відповідають поділу акордів мажорні, мінорні й «симетричні» (що складаються з однакових інтервалів).

Можна задатися питанням: яке «внутрішнє» подання музичних тризвуків в психіці суб'єкта? Як їм використовується інформація про вищезгаданому «новій якості» тризвуки?

З урахуванням досить розвиненого апарату слухової системи людини [9, 10, 12, 27] можна припустити, що хоча уявити мінорний тризвук у вигляді прямої пропорції (15:12:10) вищої нервової системи людини цілком по силам, але також (якщо не простіше) їй по силам уявити це ж тризвук у вигляді зворотної пропорції(/4:/5:/6), і «при першому ж порівнянні» цих пропорцій (для визначення категорії) «відкинути» пряму через її в 15 разів більшої складності (добуток трьох чисел прямої та зворотної пропорцій одно 1800 проти 120).

Будемо далі називати головною пропорцією акорду одну з двох пропорцій висот його звуків (пряму або зворотну), яка складається з менших чисел (в сенсі їх твори), іншу ж пропорцію будемо називати побічної. Т. о. головною пропорцією мажорного акорду завжди буде пряма пропорція, а мінорного - зворотна пропорція.

І нарешті зазначимо, що хоча вищезгадані мінорний і мажорний тризвуки складаються попарно з одних і тих же інтервалів(4:5, 4:6, 5:6), але мають протилежну емоційне забарвлення, відсутню у будь-якої окремої пари їх звуків. Єдина відмінність у монолітних тризвуків (мінору і мажору) - факт взаємного поводження з головних пропорцій.

Логічно зробити висновок, що відповідна нова «емоційна» інформація акорду міститься саме в цьому останньому властивості (тип головною пропорції), яке тільки і може проявитися при поєднанні трьох і більше звуків, але не може бути виявлено при поєднанні двох (т. к. скажімо A:B це абсолютно те ж саме, що і /A/B). Іншого джерела (емоційної) інформації, укладеної в тризвуку - просто немає і не може бути (не забуваємо, що ми розглядаємо стаціонарні звуки з незмінним спектром). Додатковим підтвердженням цього висновку є те, що у звучання «симетричних» акордів відсутня утилітарна компонента емоцій.

Приклад 1. Звучання пропорцій

2:3:4 = /6:/4:/3 дає м'який мажор. 2:3:6 = /3:/2:/1 дає м'який мінор.

3:4:5 = /20:/15:/12 дає більш яскравий (контрастний) мажор, а 20:15:12 = /3:/4:/5 дає більш глибокий (контрастний) мінор.

4:5:6 = /15:/12:/10 дає найбільш яскравий мажор, а 10:12:15 = /6:/5:/4 дає найбільш глибокий мінор.

Для прослуховування акордів краще використовувати чисті тони з точними співвідношеннями частот, використовуючи напр. [1].

ТЕОРІЇ МАЖОРУ І МІНОРУ

Акорди в музиці звучать вже багато сотень років і майже стільки ж люди замислюються про причини їх милозвучності.

Для двоголосних акордів перше пояснення цієї властивості було зроблено ще дуже давно (і подкупающе просто і ясно, якщо закрити очі на деякі дисонанси - див. вище). Для триголосних акордів мажору і мінору теж досить давно були встановлені вищеописані факти про прямих і зворотних пропорціях.

Однак знайти відповідь на питання, чому у різних акордів виникає різна по знаку (і силі) емоційне забарвлення виявилося значно складніше. І на друге питання - чому мінорний акорд при всій своїй складності (при поданні до прямих пропорціях - так би мовити, в «мажорній нотації») звучить милозвучно, а скажемо «майже такий же» по складності числовий пропорції «дисаккорд» (типу 9:11:14) звучить неприємно - було важко відповісти.

Кажучи загалом, було не зовсім зрозуміло, як «однаково добре» обґрунтувати і мажор і мінор?

Цю загадку природи мажору і мінору намагалися з'ясувати багато авторитетні дослідники. І якщо мажор був-таки пояснений «досить просто» (як здавалося багатьом авторам, наприклад - «чисто акустично»), то проблема аналогічного по ясності обґрунтування мінору мабуть досі стоїть на порядку денному, хоча й існує безліч самих різних теоретичних і феноменологічних побудов, які намагаються дати її рішення.

Зацікавлений читач може звернутися за відповідними подробицями до[2, 3, 4, 13, 16, 24-26].

Історично теорії мінору базувалися або на фізичних «унтертонах» (звуками з частотою, що в ціле число разів меншою частоти основного тону звуку - не існуючих в реальності), або на «метафізичних» факти потрійного збігу обертонів у звуків акорду, яке хоча і може, але не зобов'язана завжди мати місце, наприклад у разі акорду з чистих тонів.

Деякі автори при «обґрунтуванні» акордів посилалися також на нелінійні властивості слуху, описаного напр. в [9, 10, 12]. Однак і цей безперечно має місце факт досить рідко працює на практиці, адже навіть не надто слабкий по гучності акорд із-за нелінійності не буде породжувати помітні комбінаційні тони.

Інші автори використали досить складні теоретико-музичні побудови (або чисто математичні схеми, замкнуті як «речі в собі»), розібратися в точному сенсі яких часто було неможливо без детального вивчення специфічної термінології самих цих теорій (і деколи це пояснення було засновано на перефразировке одних абстрактних термінів через інші).

Деякі автори досі намагаються підійти до цього питання з точки зору когнітивної психології, нейродинаміки, лінгвістики і т. п. І у них майже виходить... Майже - тому що ланцюжок пояснень буває занадто довгим і далеко не безперечна, а крім того відсутня алгоритмічна формалізація теорій і т. о. база для їх кількісної експериментальної перевірки.

Наприклад в одному з найцікавіших, докладних і різнобічних досліджень феномена мажору і мінору [25] наводиться гіпотеза про те, що основа емоційного змісту звуків закладена природою ще в інстинкті вищих тварин, що отримав подальший розвиток у людини. Експериментально встановлено, що домінантність конкретної особини зграї у тваринному світі супроводжується використанням низьких або знижуються звуків «мови», а підпорядкованість - використанням високих або підвищуються. Далі приймається, що домінантність дорівнює «радості», а підпорядкованість -»печалі». Потім будується таблиця з диссонантных симетричних трезвучных акордів (з двома однаковими інтервалами від 1 до 12 півтонів РТС12) зі списком змін цих акордів у мінорні при збільшенні або в мажорні при зменшенні висоти будь-якого звуку початкового акорду на один півтон.

Навіть відволікаючись від того, що частина змінених акордів не може бути однозначно віднесена до мажорним або минорным - незрозуміло, чому слухаючи акорд суб'єкт-людина обов'язково (і миттєво) має «подумати» про те, що один із звуків цього (консонантного) акорду зрушать від звуку іншого (однозначно визначеного і до того ж диссонантного) акорду на певний фіксований інтервал - півтон? І як ця досить абстрактна думка може перетвориться на «вроджені» емоції? І чому розум повинен обмежуватися тільки можливостями РТС12? РТС12 що, теж придумала Природа і вклала в інстинкт?

Тим не менш, я згоден, що емоційний зміст мажору і мінору засноване на емоціях, доступних багатьом вищим тваринам... правда неясно, чи можуть вони відчувати ці емоції, прослуховуючи акорди? Думаю, навряд чи. Тому що визначення взаємних пропорцій висот трьох і більше звуків акорду - процес більш високого порядку складності, ніж визначення висоти одного звуку (або напряму зміни цієї висоти).

Особливий розвиток слуховий апарат людини отримав у зв'язку з появою мовного спілкування, що породило здатність детального і швидкого аналізу спектра складних звуків, побічним продуктом якого швидше за все і є наша можливість насолоджуватися музикою [27].

Утилітарні емоції у вищих тварин (як і у людини), однак цілком можуть викликатися через сприйняття інформації від інших органів чуття - і перш за все - через візуальне сприйняття подій та їх подальшу інтерпретацію.

Пара слів про емоційність мови людини і одностайної музики. Так, у них можуть міститися» утилітарні емоції. Але причиною тому служить істотна нестаціонарність спектру - зміни висоти та/або тембру цих звуків.

І ще - про індивідуальні відмінності суб'єктів. Так, за допомогою спеціального виховання (дресирування) можна привчити людей (як і деяких тварин) до того, що навіть один якийсь звук (або будь-який акорд) буде викликати у них утилітарні емоції (горе від рефлекторно очікуваного батога чи радість - від пряника). Але це не буде відповідати природі речей, яку ми прагнемо встановити.

Ось фраза з докторської дисертації за музыкологии 2008 р., мабуть ставить жирну крапку в питанні про відомих теоріях мажору і мінору [26, стор 91]: «незважаючи на те, що багатьма авторами було описано сприйняття мажорних/мінорних акордів і гам, як і раніше залишається загадкою чому мажорні акорди відчуваються як радісні, а мінорні як сумні».

Я думаю, що розробка правильної теорії мажору і мінору можлива тільки при задоволенні двох важливих умов:

- залучення додаткових галузей знань (крім музики й акустики), -використання математичного апарату додаткових галузей знань.

Нам варто згадати історію. Ідея про те, що «сенс» акорду треба шукати поза «старого» простору теорії музики вперше прозвучала як мінімум ще сто з гаком років тому.

Ось декілька цитат.

З [3]:

Гуго Ріман (1849-1919) до кінця своєї діяльності відмовився від обґрунтування мажору і консонансу допомогою явища обертонів і встав на психологічну точку зору Карла

Штумпфа, розглядаючи обертони лише як «приклад і підтвердження», але не доказ.

З [4, 13]:

Карл Штумпф (1848-1936) переніс наукове обґрунтування теорії музики з області фізіології в область психології. Штумпф відмовлявся пояснювати консонанс як акустичний феномен, а виходив з психологічного факту «злиття тонів» (Stumpf C. Tonpsychologie. 1883-1890).

Отже, завершуючи розділ зазначу, що швидше за все вже Штумпф і Рімана були абсолютно праві в тому, що обґрунтувати акорд неможливо ні акустично, ні метафізично, ні суто музично, а що для цього необхідно - це залучення психології.

Тепер підійдемо до питання з іншого кінця» і поставимо запитання: а що ж таке є емоція?

ТЕОРІЇ ЕМОЦІЙ

Коротко розглянемо дві теорії емоцій, на мій погляд, ближче усього наблизилися до того рівня, на якому відкривається можливість застосування їх законів у такому складному питанні, як психологічна структура явищ сприйняття музики.

За іншими теоріями і подробицями відсилаю читача до досить широкого огляду в [6].

Зміст подальшого викладу рясно цитує роботи [6, 7, 8] (в моїй редакції).

Фрустрационная теорія емоцій

У 1960-х рр. виникла і була ґрунтовно розроблена теорія когнітивного дисонансу Л. Фестингера.

Відповідно до цієї теорії, коли між очікуваними і дійсними результатами діяльності є розбіжність (когнітивний дисонанс), виникають негативні емоції, водночас, як збіг очікування й результату (когнітивний консонанс) зумовлює появу позитивних емоцій. Виникають при дисонансі й консонансе емоції розглядаються в цій теорії як основні мотиви відповідної поведінки людини.

Незважаючи на численні дослідження, підтверджують правоту цієї теорії, існують і інші дані, що показують, що в ряді випадків і когнітивний дисонанс може викликати позитивні емоції.

На думку Дж.Ханта, для виникнення позитивних емоцій необхідна певна ступінь розбіжності між установками і сигналами, деякий «оптимум розходження» (новизни, незвичайності, невідповідності тощо). Якщо сигнал не відрізняється від попередніх, то він оцінюється як нецікавий; якщо ж він відрізняється занадто сильно, здається небезпечним, неприємним, дратівливим і т. п.

Інформаційна теорія емоцій

Дещо пізніше оригінальну гіпотезу про причини явища емоцій висунув П. В. Симонов.

Згідно з нею емоції з'являються внаслідок нестачі чи надлишку відомостей, необхідних для задоволення потреби суб'єкта. Ступінь емоційної напруги визначається силою потреби й величиною дефіциту прагматичної інформації, необхідної для досягнення мети.

Перевагою своєї теорії і заснованої на ній «формули емоцій» П. В. Симонов вважав те, що вона суперечить погляду на позитивні емоції, як на вдоволена потреба. З його точки зору позитивна емоція виникне тільки в тому випадку, якщо надійшла інформація перевищить наявний раніше прогноз щодо ймовірності задоволення потреби.

Багато автори критикували формулу емоцій Симонова за її неповноту, неточність і невизначеність в цілому ряді конкретних ситуацій.

Подальший розвиток теорія Симонова отримала в роботах В. О. Леонтьєва, зокрема до 2008 р. в [8] була опублікована досить цікава стаття з низкою узагальнених формул емоцій, одну з яких я нижче детально опишу. Далі цитую [8].

Під емоціями ми будемо розуміти психічний механізм управління поведінкою суб'єкта, що оцінює ситуацію з деякого набору параметрів ... і запускає відповідну програму її поведінки. Крім того, кожна емоція має специфічну суб'єктивну забарвлення.

Наведене визначення припускає, що вид емоції визначається відповідним набором параметрів. Дві різні емоції повинні відрізнятися різним набором параметрів або областю їх значень.

Крім того, у психології описані різні характеристики емоцій: знак і сила, час виникнення щодо ситуації - попередні (до ситуації) або констатувальні (після ситуації) і т. п. Будь-яка теорія емоцій повинна давати можливість об'єктивного визначення цих характеристик.

Залежність емоції від її об'єктивних параметрів називають формулою емоцій.

Одне-параметрична формула емоцій

Якщо людина володіє певною потребою величиною П, і якщо йому вдається отримати якийсь ресурс Уд (при Уд > 0), що задовольняє потребу, то емоція E буде позитивною (а у випадку втрати Уд < 0 і емоція буде негативною):

Е = F(П, Уд) (1)

Ресурс Уд визначається в роботі [8] як «Рівень досягнень», а емоція E - як констатуюча.

Для конкретності можна уявити людину, що грає в нову для себе гру і не представляє, що можна від неї очікувати.

Радість.

Якщо гравець виграв якусь суму Уд > 0, то виникає позитивна емоція радості силою

Е = F(П, Уд).

Горе.

Якщо гравець «виграв» суму Уд < 0 (тобто програв), то виникає негативна емоція горя

силою Е = F(П, Уд).

Ще один метод формалізації емоцій запропонований у роботі [17].

Згідно з ним емоції розглядаються як засіб оптимального керування поведінкою, направляє суб'єкта до досягнення максимуму його «цільової функції» L.

Збільшення цільової функції L супроводжується позитивними емоціями, зменшення - негативними емоціями.

Оскільки L залежить в найпростішому випадку від деякої змінної х, то емоції E викликаються зміною цієї змінної від часу:

E = dL/dt = (dL/dх)*(dх/dt) (2)

В [6, 20] також наголошується, що поряд з вищеописаними (утилітарні) емоціями існують ще так звані «інтелектуальні» емоції (подив, здогад, сумнів, упевненість тощо), які виникають не у зв'язку з потребою чи метою, а в зв'язку з самим інтелектуальним процесом обробки інформації. Наприклад, вони можуть супроводжувати процес спостереження абстрактних математичних об'єктів [5]. Особливістю інтелектуальних емоцій є відсутність у них специфічного знака.

На цьому етапі зупинимося цитуванні і перейдемо в основному до викладу оригінальних ідей автора.

МОДИФІКАЦІЯ ФОРМУЛИ ЕМОЦІЙ

Насамперед зазначимо, що формули (1, 2) дуже схожі, якщо врахувати що ресурсний параметр Уд насправді є різницею між поточним і попереднім значенням деякого інтегрального ресурсу R. Наприклад, у випадку нашого азартного гравця в якості R логічно вибрати його сумарний капітал, тоді:

Уд = R1 - R0 = dR = dL

Однак обидві формули (1, 2) «не зовсім» физичны - у них прирівнюються величини, які мають різні розмірності. Не можна вимірювати, скажімо, час в кілометрах або радість в літрах.

Тому по-перше формули емоцій слід модифікувати, записавши їх у відносних величинах.

Також бажано уточнити залежність сили емоцій від своїх параметрів т. о. щоб збільшити правдоподібність результатів для великого діапазону змін цих параметрів.

Для цього скористаємося аналогією з загальновідомим законом Вебера-Фехнера [14], що говорить про те, що диференціальний поріг сприйняття для самих різних сенсорних систем людини пропорційний інтенсивності відповідного стимулу, а величина відчуття пропорційна його логарифму.

У самому справі, радість того самого гравця повинна бути пропорційна відносному розміру виграшу, а не абсолютним. Адже мільярдер, який програв один мільйон буде сумувати зовсім не так сильно, як володар мільйона з невеликим хвостиком. Та висоти «найбільш схожих музичних звуків пов'язані октавным співвідношенням, тобто теж логарифмічним (збільшенням частоти основного тону звуку в 2 рази).

Я пропоную записати модифіковану формулу емоцій (1) наступним чином:

Е = F(П) * k * log(R1/R0), (3)

де F(П) - винесена окремо залежність емоцій від параметра потреби П;

k - деяка постійна (або майже постійна) позитивна величина, що залежить від предметної області ресурсу R, від основи логарифма, від інтервалу часу між вимірами R1 і R0, а також, можливо, від деталей характеру конкретного суб'єкта;

R1 - значення цільової функції (сумарного корисного ресурсу) в поточний момент часу, R0 - значення цільової функції в попередній момент часу.

Можна також висловити нову формулу емоцій (3) через безрозмірну величину L = R1/R0, яку логічно назвати відносною диференціальної цільовою функцією (поточним значенням інтегральної цільової функції щодо деякого попереднього моменту часу, завжди знаходиться на фіксованій відстані від поточного моменту).

Тоді:

E = F(П) * Pwe, де Pwe = k * log(L), (4)

де в свою чергу L = R1/R0, а параметри k, R0 і R1 описані у формулі (3).

Тут введена величина потужності емоцій Pwe, пропорційна потоку емоційної енергії в одиницю часу (тобто обиходному змістом виразу «інтенсивність емоцій», «сила емоцій»). Вираз сили емоцій в одиницях потужності, що виділяється організмом суб'єкта на емоційну поведінку відомо з робіт інших авторів [5], тому нам не варто дивуватися появі такого декілька незвичайного) терміна як «потужність емоції».

Як легко бачити, формули (3 і 4) автоматично дають вірний знак емоцій, позитивний при зростанні R (коли R1 > R0 і т. о. L > 1) і негативний при падінні R (коли R1 < R0 і т. о. L < 1).

Тепер спробуємо застосувати нові формули емоцій до сприйняття музичних акордів.

ІНФОРМАЦІЙНА ТЕОРІЯ АКОРДІВ

Але спочатку трохи «лірики». Як можна викласти вищеописану інформаційну теорію емоцій на простому людському мовою? Спробую навести кілька досить елементарних прикладів, що проясняють ситуацію.

Припустимо, сьогодні нам життя отвалила «подвійну порцію» якихось «життєвих благ» (проти середнього щоденного обсягу «щастя»). Наприклад - в два рази кращий обід. Або нам випало ввечері дві години вільного часу проти одного. Або ми в гірському поході пройшли вдвічі більше ніж зазвичай. Або нам сказали в два рази більше компліментів ніж вчора. Або ми отримали подвійні преміальні. І ми радіємо, тому що функція L сьогодні стала рівною 2 (L=2/1, E>0). А завтра нам все це випало в п'ятикратному розмірі. І ми радіємо ще більше (відчуваємо більш потужні позитивні емоції, тому що L=5/1, E>>0). А потім все це пішло як зазвичай (L=1/1, E=0), і ми більше не відчуваємо ніяких утилітарних емоцій - нам нема з чого радіти, та нема чого засмучуватися (якщо ми ще не встигли звикнути до щасливих днів). А потім раптом вибухнула криза і наші блага урізали наполовину (L = 1/2, E<0) - і нам стало сумно.

І хоча у кожного суб'єкта цільова функція L залежить від великого набору індивідуальних під-цілей (часом діаметрально протилежних - для спортивних противників або уболівальників, наприклад), загальним для всіх є особиста думка кожного - наближає дану подію до якимось з його цілей, або віддаляє від них.

А тепер повернемося до нашої музики.

Виходячи з перевірених фактів науки [14] логічно припустити, що при одночасному прослуховування кількох звуків психіка суб'єкта намагається отримати всіляку інформацію, яку ці звуки можуть містити в собі, в тому числі що знаходиться на найвищому рівні ієрархії, тобто з співвідношень висот всіх звуків.

На етапі аналізу параметрів тризвуків (на відміну від співзвуч, див. вище) індивідуальні потоки інформації від різних вух використовуються вже спільно (що легко перевірити, подаючи будь-які два звуку в одне вухо, а третій - в інше - емоції ті ж).

В процесі інтерпретації цієї об'єднаної інформації психіка суб'єкта намагається використовувати в тому числі і свою «утилітарну» емоційну підсистему.

І в ряді випадків їй це з успіхом вдається - наприклад, при прослуховуванні ізольованих мінорних та мажорних акордів (але акорди інших типів мабуть можуть породжувати інші види емоцій - естетичні/інтелектуальні).

Можливо, деякі досить прості аналогії (на рівні більше/менше) зі змістом «схожої» інформації з інших сенсорних каналів сприйняття (візуальних і ін) дозволяють психіці суб'єкта класифікувати мажорні акорди як несучі інформацію «про вигоду», що супроводжується позитивними емоціями, а мінорні - «про збиток», супроводжувану негативними.

Тобто на мові формули емоцій (4) у мажорному акорді повинна бути укладена інформація про значення цільової функції L > 1, а в мінорному - про значення L < 1.

Моя основна гіпотеза полягає в наступному. При сприйнятті окремого музичного акорду в психіці суб'єкта породжується значення цільової функції L, яке безпосередньо пов'язане з головною пропорцією висот його звуків. При цьому мажорних акордах відповідає уявлення про зростання цільової функції (L>1), що супроводжується позитивними утилітарними емоціями, а минорным акордам відповідає уявлення про падіння цільової функції (L<1), що супроводжується негативними утилітарними емоціями.

А першому наближенні можна припустити, що значення L дорівнює деякій простої функції від чисел, що входять у головну пропорцію акорду. У найпростішому випадку ця функція може бути якимось «середнім» від усіх чисел головної пропорції акорду, наприклад середнім геометричним.

Для будь-мажорних акордів всі ці числа будуть більше 1, а для будь-яких мінорних вони будуть менше 1.

Наприклад:

L = N = «середнє» від чисел (4, 5, 6) з мажорній пропорції 4: 5: 6,

L = 1/N = «середнє» від чисел (1/4, 1/5, 1/6) з мінорної пропорції /4:/5:/6.

При такому поданні L амплітуда сили емоцій (тобто абсолютне значення Pwe), породжуваних мажорним і (зворотним йому) минорным трезвучием буде абсолютно однакова, і ці емоції будуть мати протилежний знак (мажор - позитивний, мінор - негативний). Дуже обнадійлива наслідок!

Тепер спробуємо уточнити і узагальнити формулу (4) для довільної кількості голосів акорду M. Для цього визначимо L як середнє геометричне чисел з головної пропорції акорду, отримавши в підсумку остаточний вигляд «формули музичних емоцій»:

Pwe = k * log(L) = k * (1/M) * log(n1 * n2 * n3 * ... * nM), (5)

де k - по раніше деяка позитивна константа - див. (3),

а ni - це i-й голос акорду у вигляді відповідного цілого числа або зворотного дробу з головної пропорції висот голосів акорду.

Назвемо величину Pwe (з формули 5) «емоційною потужністю» акорду (або просто потужністю), позитивною для мажору і негативною для мінору (аналогія: потік життєвих сил, у мажору - приплив, у мінору - відтік).

Для однаковості з логарифмічною шкалою частот (згадаємо про октаві), будемо використовувати у формулі (5) логарифм за основою 2. У такому разі можна покласти k = 1, т. к. при цьому чисельне значення Pwe буде знаходиться на цілком прийнятному діапазоні поблизу області «одиничною» амплітуди емоцій.

Для подальшого аналізу нам, поряд з «головною» може знадобитися також «побічна» потужність акорду, відповідна підстановці в формулу (5) його побічної пропорції (див. вище). Якщо не зазначено - нижче скрізь використовується «головна» Pwe.

У додатку до статті наведені значення головних і побічних потужностей деяких акордів.

ОБГОВОРЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ

Отже, висунувши ряд досить простих і логічних припущень, ми отримали нові формули (3, 4, 5), які пов'язують узагальнені параметри ситуації (або конкретні параметри акордів для формули 5) зі знаком і силою викликаються ними (в контексті ситуації) утилітарних емоцій.

Як можна оцінити цей результат?

Цитую роботу [5]:

«Спроб об'єктивного визначення сили емоції, ймовірно, не було. Однак можна припустити, що таке визначення повинне бути засноване на енергетичних уявленнях. Якщо емоція викликає деякий поведінку, то це поведінка вимагає певного витрати енергії. Чим сильніша емоція, тим інтенсивніше поведінку, тим більше потрібно енергії в одиницю часу.

Тобто силу емоції можна спробувати ототожнити з величиною потужності, яку організм виділяє на відповідну поведінку».

Спробуємо максимально критично підійти до нового результату, раз його поки не з чим порівнювати.

По-перше, потужність емоцій Pwe з формул (4, 5) хоча і пропорційна «суб'єктивної силі емоцій, але їх зв'язок може бути лінійною. І цей зв'язок - лише якась середня залежність по всьому континууму суб'єктів, тобто може бути піддана значним (?) індивідуальних відхилень. Наприклад, «константа» k все ж може змінюватися, хоча і не дуже сильно. Можливо також, що замість середнього геометричного у формулі (5) слід застосувати якусь іншу функцію.

По-друге, якщо мати на увазі конкретний вид формули музичних емоцій (5), то слід зауважити, що хоча формально в ній M і може бути дорівнює 1 або 2, ми можемо говорити про виникнення утилітарних емоцій тільки при M >= 3. Проте вже при M = 2 можливо наявність естетичних/інтелектуальних емоцій, а при M > 3, є ймовірність появи додаткових факторів (?), якось впливають на результат.

У третіх, мабуть область валідних значень амплітуди Pwe для категорії мажору і мінору має верхню межу 2.7 ... 3.0, але де-то вже зі значення 2.4 починається область насичення утилітарно-емоційного сприйняття акордів, і приблизно там же проходить нижня межа діапазону можливого «вторгнення» дисонансів.

Але це останнє - скоріше загальна проблема «не монотонності» ряду диссонантных інтервалів, не пов'язана безпосередньо з емоційним сприйняттям акордів. А обмеженість динамічного діапазону потужності емоцій - загальна властивість будь сенсорної системи людини, легко пояснюється відсутністю аналогій з подіями в «реальному житті», які відповідають занадто швидким змінам цільової функції (у 7-8 разів і більше).

По-четверте, «симетричні» (або майже симетричні) акорди, у яких прямі і зворотні пропорції складаються з однакових цифр (навіть при відсутності в них явних дисонансів) мабуть випадають із нашої класифікації - їх утилітарно-емоційне забарвлення практично відсутня, відповідаючи нагоди Pwe = 0.

Проте можна доповнити формальний результат застосування формули (5) простим полуэмпирическим правилом: якщо головна і побічна потужності якогось акорду (майже) однакові за амплітудою, то результатом формули (5) буде не головна потужність, а полусумма потужностей, тобто (приблизно) 0.

І це правило починає працювати вже при відміну амплітуд головної і побічної Pwe, меншому ніж 0.50.

Швидше за все тут має місце досить просте явище: раз неможливо відрізнити по складності пряму і зворотну пропорцію акорду, то класифікація цього акорду в категоріях утилітарних емоцій («печалі і радості») просто не проводиться. Однак ці акорди (як і інтервали) можуть породжувати естетичні/інтелектуальні емоції, напр., «подив», «питання», «роздратування» (при наявності дисонансів) та ін.

При всіх своїх уявних або дійсних недоліки формула (5) (і мабуть, формули 3 і 4) все ж дає нам досить непоганий теоретичний матеріал для чисельних оцінок сили емоцій.

Принаймні в одній конкретній області - області емоційного сприйняття мажорних і мінорних акордів.

Давайте спробуємо перевірити цю формулу (5) на практиці, за допомогою порівняння пари різних мажорних і мінорних акордів. Досить непоганий приклад - акорди 3:4:5 і 4:5:6 і їх мінорні варіанти.

Для чистоти експерименту слід порівнювати пари акордів, складених з чистих тонів при їх приблизно однакової середньої за рівнем гучності, причому в обох акордів краще використовувати такі висоти тонів, щоб «середньозважена» частота цих акордів (у Герцах) була однакова.

Пара мажорних тризвуків може складатися з тонів частотою напр. 300, 400, 500 Гц і 320, 400, 480 Гц.

На слух мені здається цілком помітним, що емоційна «яскравість» мажора 3:4:5 (c Pwe = 1.97) справді дещо менше ніж у мажору 4:5:6 (з Pwe = 2.30). Приблизно те ж саме на мою думку відбувається і з мінором /3:/4:/5 /4:/5:/6.

Це враження вірної передачі потужності емоцій формулою (5) зберігається і при прослуховуванні тих же самих акордів, складених з звуків з багатим гармонійним спектром.

РАЗОМ

Отже, згідно з інформаційною теорією емоцій в роботі запропоновано модифіковані формули, що виражають знак і амплітуду утилітарних емоцій через параметри ситуації.

Висунута гіпотеза про те, що при сприйнятті музичного акорду в психіці суб'єкта породжується значення деякої цільової функції L, яке безпосередньо пов'язане з пропорціями висот звуків акорду. При цьому мажорних акордах відповідають прямі пропорції, що породжують уявлення про зростання цільової функції (L>1), що викликає позитивні утилітарні емоції, а минорным акордам відповідають зворотні пропорції, що породжують уявлення про падіння цільової функції (L<1), що викликає негативні утилітарні емоції.

Висунута формула музичних емоцій: Pwe = log(L) = (1/M)*log(n1*n2*n3* ... *nM), де M - кількість голосів акорду, ni - ціле число (або зворотна дріб) із загальної пропорції висот, що відповідає i-му голосу акорду.

Проведена обмежена експериментальна перевірка, досліджено межі застосовності формули музичних емоцій, в яких вона вірно передає знак і (на мій погляд) їх амплітуду.

КОД

Радісно звучать фанфари!

Потім усі встають і взявшись за руки - a cappella співають Гімн Розуму!

Багатовікова таємниця мажору і мінору нарешті розгадана! Ми перемогли...

ЛІТЕРАТУРА І ПОСИЛАННЯ

1. Звукова система Audiere, http://audiere.sourceforge.net/ Завантажити архів http://prdownloads.sourceforge.net/audiere/audiere-1.9.4-win32.zip?download Використовувати wxPlayer.exe з папки bin.
2. Трусов Ст. Н. Матеріали сайту mushar.ru 2004 http://web.archive.org/http://mushar.ru/
3. Мазель Л. Функціональна школа. 1934 (Рижкин В., Мазель Л., Нариси по історії теоретичного музикознавства)
4. Ріман Р. Музичний словник (комп'ютерний варіант). 2004
5. Леонтьєв В. О. Десять невирішених проблем теорії свідомості та емоцій. 2008
6. Ільїн Е. П. Емоції і почуття. 2001
7. Симонов П. В. Емоційний мозок. 1981
8. Леонтьєв В. О. Формули емоцій. 2008
9. Алдошина В., Приттс Р. Музична акустика. 2006
10. Алдошина В. Основи психоакустики. Добірка статей з сайту http://www.625-net.ru
11. Морозов В. П. Мистецтво і наука спілкування. 1998
12. Альтман Я. А. (ред.) Слухова система. 1990
13. Лефевр Ст. А. Формула людини. 1991
14. Шиффман Х. Р. Відчуття і сприйняття. 2003
15. Теплов Б. М. Психологія музичних здібностей. 2003
16. Холопов Ю. Н. Гармонія. Теоретичний курс. 2003
17. Голіцин Р. А., Петров В. М. Інформація - поведінка - творчість. 1991
18. Гарбузов Н.А. (ред.) Музична акустика. 1954
19. Римський-Корсаков М. Практичний підручник гармонії. 1937
20. Леонтьєв В. О. Що таке емоція. 2004
21. http://ru.wikipedia.org/wiki/Эмоции
22. Klaus R. Scherer, 2005. What are emotions? And how they can be measured? Social Science Information, Vol. 44, no 4, pp. 695-729
23. BEHAVIORAL AND BRAIN SCIENCES (2008) 31, 559-621 Emotional responses to music: The need to consider транспортний mechanisms
24. Music Cognition at the Ohio State University http://csml.som.ohio-state.edu/home.html Music and Emotion http://dactyl.som.ohio-state.edu/Music839E/index.html
25. Norman D. Cook, Kansai University, 2002. Tone of Voice and Mind: The connections between intonation, emotion, cognition and consciousness.
26. Bjorn Vickhoff. A Perspective Theory of Music Perception and Emotion. Doctoral dissertation in musicology at the Department of Culture, Aesthetics and Media, University of Gothenburg, Sweden, 2008
27. Terhardt E. Pitch, consonance, and harmony. Journal of the Acoustical Society of America, 1974, Vol. 55, pp. 1061-1069.
28. ВОЛОДІН А. А. Автореферат докторської дисертації. ПСИХОЛОГІЧНІ АСПЕКТИ СПРИЙНЯТТЯ МУЗИЧНИХ ЗВУКІВ
29. Levelt W., Plomp R. The appreciation of musical intervals. 1964

ПОДЯКИ

Висловлюю вдячність Ernst Terhardt і Yury Savitski за літературу, люб'язно надану мені для написання даної роботи. Велике вам спасибі!

АВТОРСЬКА ІНФОРМАЦІЯ

Авторські права Вадим Р. Мадгазин, 2009 Copyright (c) Vadim R. Madgazin, 2009

Зворотній зв'язок.

Будь-яка конструктивна критика, зауваження і доповнення до даної роботи будуть прийняті з

подякою за електронною адресою: author(at)vmgames.com

Остання версія цієї та інші роботи автора: http://www.vmgames.com/ru/texts/

Ліцензія.

Дозволяється вільне копіювання та розповсюдження тексту цієї роботи в незмінному вигляді у разі відсутності вилучення якого-небудь матеріального доходу від цих дій. В іншому випадку потрібно попереднє письмове дозвіл автора. Будь-яке цитування даної роботи або переказ своїми словами повинні супроводжуватися WWW посиланням: http://www.vmgames.com/ru/texts/

Версія.

Версія тексту від 15 липня 2009 р.

ДОДАТОК

Емоційна потужність Pwe головних пропорцій деяких акордів, розрахована за формулою (5).

Основна частина пропорцій - прямі пропорції, відповідні мажорних акордах.

Мінорні акорди можуть бути отримані з пропорцій, дзеркально зворотних мажорних шляхом простої зміни знака Pwe головною пропорції (як в парі прикладів).

В дужках дана побічна потужність деяких акордів, якщо вона по амплітуді наближається до головної.

Для симетричних акордів обидві ці потужності відрізняються тільки знаком.

Головна Побічна Pwe головної (побічної) Примітка пропорція пропорція пропорції

Деякі симетричні [псевдо]акорди

1:1:1 1:1:1 0 (0)

1:2:4 /4:/2:1 1 (-1)

4:6:9 /9:/6:/4 2.58 (-2.58) «квинтовое» тризвук

16:20:25 /25:/20:/16 4.32 (-4.32) збільшений тризвук

Деякі консонантних 3-х голосные [псевдо]акорди

1:2:3 /6:/3:/2 0.86 (-1.72)

2:3:4 /6:/4:/3 1.53 (-2.06)

2:3:5 /15:/10:/6 1.64

2:3:8 /12:/8:/3 1.86

2:4:5 /10:/5:/4 1.77

2:5:6 /15:/6:/5 1.97

2:5:8 /20:/8:/5 2.11

3:4:5 /20:/15:/12 1.97 /3:/4:/5 20:15:12 -1.97

3:4:6 /4:/3:/2 -1.53 (2.06)

3:4:8 /8:/6:/3 2.19 (-2.39) майже симетрично

3:5:6 /10:/6:/5 2.16 (-2.74)

3:5:8 /40:/24:/15 2.30

3:6:8 /8:/4:/3 2.39 (-2.19) майже симетрично

4:5:6 /15:/12:/10 2.30 мажорний тризвук

/4:/5:/6 15:12:10 -2.30 мінорний тризвук

4:5:8 /10:/8:/5 2.44 (-2.88)

5:6:8 /24:/20:/15 2.64

Деякі диссонантные тризвуки

4:5:7 /35:/28:/20 2.38

5:6:7 /42:/35:/30 2.57

Деякі консонантних 4-х голосные [псевдо]акорди

1:2:3:4 /12:/6:/4:/3 1.15

2:3:4:5 /30:/20:/15:/12 1.73

3:4:5:6 /20:/15:/12:/10 2.12

4:5:6:8 /30:/24:/20:/15 2.48

КІНЕЦЬ ТЕКСТУ